YILDIRIM GİBİ ÇARPMAK
Matemetik bilim adamlarının yanısıra dahi hesaplayıcılar denebilecek hesap
akrobatları vardırki, bunlar aritmetik işlemlerini çok kısa zamanda akıldan hesaplarlar.
Akıldan hesaplama yapmakla genel yetenek arsında
sanıldığı kadar yakın bir ilişki olduğu söylenemez. Çünkü alışverişte
paranın üstünü hesaplayamayan büyük matematikçilerin yanısıra zihin
etkinliğinde hiçte başarılı gözükmeyen dahi hesaplayıcılar vardır.
Dahi hesaplayıcılardan matematik profösörü olan Alexander
Aitken hesap makineleri sergisini gezerken , tezgahtarın "
Şimdi 23.586 ile 71283 ü çarpacağız
" demesi üzerine,
Aitken " 1.681.280.838 bulacaksınız " diye cevap verdiğinde duyanlar hayretlerini ifade ederler.
Dahi hesaplayıcı olmadan bazı incelikleri öğrenerek
akıldan kısa sürede aritmetik hesaplamalar yapmak mümkündür. Arkadaşınızdan üç
rakamlı bir sayı isteyin. 782 sayısını verdiğini varsayalım.
Bu sayıyı yanyana iki kez yazalım. İkinci bir üç rakamlı sayı isteyelim.
Bunuda soldaki sayının altına yazalım . Şimdi aşağıdaki sayıyı çarpmak için
üçüncü bir sayıya ihtiyaç var. Bu sayı soldaki sayının basamaklarını 9 a tamamlayan sayılar olmalıdır. Buda 576 olur.
782 782
423
576
Bu iki sayının akıldan bir çırpıda çarpımı şöyle yapılır.
Çarpılan yani 782 den 1 çıkarılır ve bu sayının
9 a tümleri ( 218 ) yanına yazılır . 781 218 sayısı çarpım sonucu
olarak bir çırpıda bulunur.
Bunun nasıl olduğunu aşağıda görelim;
782 x 423 + 782 x 576 = 782
x 999
= 782 x ( 1000 - 1 )
= 782.000 - 782
= 781.000 +
1000 - 782
1000 - 782
sayısı 781 in 9 a
tümleridir. Böylece 781.218 elde edilir.
BİR BAŞKA YILDIRIM GİBİ ÇARPMA
:
Burada çarpanlardan birinin çok özel bir sayı olmasının rolü vardır. Bu sayı 143 tür .
Arkadaşınızın vereceği üç rakamlı sayıyının altına sihirli sayı 143
yazacaksınız. Çarpımı akıldan yapabilmek için arkadaşın verdiği 384 sayısının
yanında aynı sayı varmış gibi düşünerek
6 rakamlı sayıyı 7 ye bölmek
gerekmektedir. 38 de 7 5
kez var, 3 artar 34 te 7 4 kez var, 6
artar; 63 te 7 9 kez var; 8 de 7
1 kez var , 1 artar; 14 te 7 2 kez var ;
Şu halde sonuç 54.912 dir. İşlem sonunda kalan sıfır olmalıdır.
DOKUZ RAKAMLI SAYIYI AKILDAN
ÇARPMA;
Bunda kullanılan sihirli sayı 142.857.143 tür. Arkadaşın verdiği 9 rakamlı sayının
yanına yine aynı rakamı yazıp veya
yazılmış gibi düşünerek sayının 7 ye bölünmesi suretiyle 18 rakamlı iki
sayı 1 dakikanın altında bir zamanda
çarpılmış olur.
142.857.143 rakamının özelliği şudur; Bu sayı 7 ile çarpılırsa 1.000.000
001 ( Bir milyar bir elde edilir ) Şu halde herhangi 9 basamaklı bir sayıyı
142.857.143 ile çarpmak için , önce bir milyar birle çarpıp sonra 7 ye bölmek lazım. Bir milyar birle
çarpmak için sayının yanına kendisinden bir tane daha iliştiririz ( yada yazılmış gibi düşünürüz ) ve sonra 18 rakamlı sayıyı 7 ye böleriz
ALGORİTMA
1950 ' li yıllardan başlayarak insan yaşamına giren ve
günümüzde çok yaygınlaşan ve gelişen bilgisayar adını verdiğimiz cihaz karşılaşılan sorunların çözümünde
güvenilir ve vazgeçilmez bir yardımcı
olmuştur.
İnsaoğlu işlerini yaptırdığı emir kulu
ve zekaca gelişmemiş bilgisayara işlerin nasıl yapılacağını onun
anlayacağı bir dille tarif etme yöntemlerini araştırmaya başlamıştır.
1 doğal sayısını
eklersek Tn+1 i buluruz.
Tn+1 = Tn + (n+1)
Bu anlamda
T1, T2, T3, ............Tn ... dizisini
1,2,3,.....n,.... doğal sayıları yaratır.
Aritmetik dizi, bir dizide ardışık iki sayı arasındaki
farkı sabit ( d) olan Bir işin nasıl yapılacağını tarif
etme yöntemi anlamına gelen ALGORİTMA sözcüğüde 1950 ' li yıllardan başlayarak daha sık
kullanılır oldu.
Algoritma sözcüğü, ünlü İslam Matematikçi Harzemli
Muhammed Bin Musanın adından türemiş Algorizsm kelimesinden türemiştir.
İki tam şayının en büyük ortak bölenini bulan ve Öklid
algoritması adı verilen bir örnek verelim,.
Öklid algoritması, ( m ) ve ( n ) gibi sıfıdan büyük iki tamsayının en büyük
ortak bölenini bulur.
1. m yi
ve n yi oku.
2. m yi
n ye böl. Kalan r de.
3. r = 0
ise dur. Yanıt n
dir; değilse 4. adıma geç.
4. m nin yerine
n yi koy ,
n nin yerine de
r yi koy.
5. 2. adıma git .
Bilgisayara verilen
m=24, n = 18 için algoritmanın işleyişini izleyelim. Okuma
işleminden sonra ikinci adımda 24
ün 18 e bölünmesinden 6 kaldığını bulacağız. r=6 yani r=0 olmadığı için 4. adıma geçilecek ve m= 18 , n=6 yapılacak. 5. adım
gereğince 2. adıma geçip 18 6 ya
bölünecek ve r= 0 bulunacak. r=0 olduğundan yanıt n dir yanı
6 dır. Gerçekten de 24 ve 18 i ortak bölen en büyük sayı 6 dır.
Algoritmayı
kısaca " tarif etme yöntemi " olarak tanımlayabiliriz. Ancak
algoritmayoı öteki tarifnamelerden ayıra
özellikler vardır;
Bir algoritma şu özelliklere sahip olmalıdır:
1. Sonlu olma özelliği
2. Kesin olma özelliği
3. Algoritmanın
girdisi olmalı
4. Algoritmanın
çıktısı olmalı
Yukarıdaki bütün bu özelliklere ek olarak bir
algoritmanın mümkün olduğu kadar geniş bir problem kümesine uygulanabilir
olması istenir.
ARİTMETİK DİZİLER VE ÖTESİ
1 den 100 e kadar sayıların kolayca toplamı nasıl
yapılır?
1 (1+2) (1+2+3)
(1+2+3+4) (1+2+3+4+5) (1+2+3+4+5+6)
1 3 6 10 15 21
T1 T2 T3 T4 T5 T6
Bunlara üçgensel sayı denilmektedir ve ilk altısı yukarıda yazılmıştır.
2T6 = 6(6+1) = 42
T6 = 6/2
(6+1) = 21 bulunur.
Bunu genelleştirerek
Tn = n/2
(n+1) yazabiliriz
Öyleyse 1 den 100 e kadar sayıların toplamı da
T100 = 100/2
( 100+ 1) = 5050 dir.
Tn 1 den n ye
kadar sayıların toplamı idi. Demekki, Tn toplamına n+dizidir.
d sayısınada dizinin ortak farkı denir. Doğal sayılar 1 den başlayan ve ortak farkı da ( d)
olan bir arıtmetik dizidir.
Aşağıdaki tabloda
dizilerden bazıları gösterilmiştir:
Üçgensel sayılar
(d=1)
1 2 3
4 5 6 7 ......
1 3 6
10 15 21 28 .....
Karesel sayılar
(d=2)
1 3 5 7 9 11 13
1 4 9 16 25 36 49
Beşgensel sayılar
(d=3)
1 4 7 10 13 16 29
1 5 12 22 35 51 70
Altıgensel sayılar (d=4)
1 5 9 13 17 21 25
1 6 15 28 45 66 91
Bu şekilde sınırsız türde dizi oluşturulabilir.
SÖZDEBİLİME KATKI
Tarihte "
nümeroloji " adı verilen
sözdebilimle matematik bilimi
sömürü aracı durumuna getirimlmiştir. Nümeroloji , kişinin karakterini yorumlamada veya geleceğe ait kehanette
bulunmada sayıların kullanılmasına esaslarını belirler. Bu görüşe, Pisagorcuların herşeyin sayılarya ifade
edilebileceği fikrinden hareketle varılmaktadır. Nümeroloji, kişinin adına ve
doğum tarihine sayılar yakıştırarak onun
durumu ve geleceği hakkında kehanetlerde bulunur.
Wilhelm Fliess ( 1858 - 1928 ) adlı bir burun- boğaz
uzmanının ortaya attığı kuram nümeroloji
tarihinin en ilginç olaylarındandır. Ona göre insanların ve hatta bütün
canlıların yaşamını düzenleyen 23 ve 28 günlük iki temel çevrim vardır. Bu iki
sayının katlarıyla oynayarak, toplayarak veya çıkararak bir insanın yaşamıyla
ilgili hemen her olayı açıklayabileceğini iddia ediyordu. Fliess ' in bu görüşü günümüaze kadar Avrupa ve Amerikada önemli ölçüde ilgi
toplamıştır.
Fliess' e göre çocuğun cinsiyeti anadan çocuğa geçen salınımla
belirlenmektedir. Bu salınımlar yaşam boyunca sürmekte, kişinin ölümüne
varıncaya kadar , fiziksel ve zihinsel yaşamının tüm yönlerini denetlemektedir.
Yine Fliess' e göre
51 yaş en kritik bir yaştır , bu
23 ve 28 in toplamıdır.
51 özellikle erkekler için tehlikeli bir yaş gibi göründüğünü ve bu yaşta ansızın ölüveren
bazı meslektaşlarını bulunduğunu belirtiyor.
Fliess yaşamın temellerini şu formül üstüne
oturtmuştu; 23x + 28y; burada (x ) ve (y ) artı yada eksi
tamsayılarndır. Bu formülü ( x ve
y değerlerini seçerek ) doğal olaylara uydurmaya çalışırdı. Örneğin, ay dünyanın etrafındaki bir dönüşünü
28 günde tamamlamaktadır; güneşteki
lekelerin dönemi yaklaşık 23 yıldır
vb...
Fliess' in 23 ile
28, aralarında asal oldukları için herhangi bir tamsayının x ve
y yi uygun seçmek koşuluyla 23x + 28y şeklinde yazılabileceğini
anlamısına yetmemişti. Bu nedenle doğada rastlanan her tam sayıyı bu şekilde
yazabilmek Fliess' e bu işte bir keramet olduğuzlenimi veriyordu.
Herhangi bir tamsayıyı
23x+28y şeklinde yazalım; Önce
1 sayısını bu şekilde ifade
edelim: x=11 ve y= -9 seçelim,
23 X 11 + 28 X ( -9 )
= 1
23 X (11 X 2 ) + 28
X ( -9 X 2 )
= 2
23 X ( 11 X 3 )
+ 28 X ( -9 X 3 )
= 3
yada herhangi bir
N tamsayısı için,
23 X 11 X N - 28
X 9 X N = N
İnanılmaz ama 1960
larda dahi Batı Almanya ve İsviçrede hala Fliess' in görüşlerini
benimseyen müritleri bulunmaktadır.
