9.SINIF İŞLEM KONU ANLATIMI


İŞLEM

A. TANIM
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
Ì B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
İşlemler;
 gibi simgelerle gösterilir.


B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ
A kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özeliği
" (Her) a, b Î A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi p işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özeliği
" (Her) a, b Î A için, a p b = b p a ise, p işleminin değişme özeliği vardır.

3. Birleşme Özeliği
" (Her) a, b, c Î A için a p (b p c) = (a p b) p c ise, p işleminin birleşme özeliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
" (Her) x Î A için, x p e = e p x = x ise, e ye p işleminin etkisiz elemanı denir.
ΠA ise, p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özeliği
p işleminin etkisiz elemanı e olsun.
ΠA için, a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına p işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.
A kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre, tersleri A nın elemanı ise, p işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.
•  Birim elemanın tersi kendisine eşittir.
 •  Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir. 

6. Dağılma Özeliği
" a, b, c Î A için,
« (b p c) = (a « b) p (a « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.
(a p b) « c = (a « c) p (b « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.
« işleminin p işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa « işleminin p işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.


7. Yutan Eleman Özeliği
" x Î A için, x p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye p işleminin yutan elemanı denir.
ΠA ise, p işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.
*** Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir. 

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
  
    







A = {a, b, c, d} kümesindeişlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.
a)     b   c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, bc nin sonucudur. Buna göre, bc = a dır.
b)   Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesiişlemine göre kapalıdır.
c)   Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise,işleminin değişme özeliği vardır.
d)   Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır. Yukarıda tablo ile tanımlananişleminin etkisiz elemanı d dir.
e)   Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.



Yandaki tablo, A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlanan
   işlemine göre düzenlenmiştir.
Buna göre,
 işleminin yutan elemanı 1 dir.
 işleminin birim (etkisiz) elemanı 2 dir.


D. MATEMATİK SİSTEMLER
1. Tanım
A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.
(A, 
«) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup
¹Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.
1.    A, « işlemine göre kapalıdır.
2.    A üzerinde « işleminin birleşme özelliği vardır.
3.    A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
4.    A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.
A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özelliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur.

3. Halka
¹Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D«) sistemi bir halkadır.
1.    (A, D) sistemi değişmeli gruptur.
2.    A kümesi « işlemine göre kapalıdır.
3.    « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
***« işleminin değişme özelliği de varsa (A, D«) sistemi değişmeli halkadır.
*** « işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D«) sistemine birim halka denir.

Google Plus İle Paylaş
    Blogger Comment
    Facebook Comment

0 yorum:

Yorum Gönder



Faydalı Semboller: 
÷ × ½ √ ∞ = ≠ ≤ ≥ ≅ ≈ ~ ⇒ ±  ∈  Δ θ ∴ ∑ ∫ • π -¹ ² ³ ° ( ) [ ] a b ∠   ∟ ´ ´´     || Δ |x-y{ } ∩ ∪ ⊆ ⊂ ⊄ ⊇ ⊃ ⊅ ⊖ |A| Ø  1