9. SINIF FONKSİYONLAR KONU ANLATIMI - Matematik Canavarı

22 Mayıs 2013 Çarşamba

9. SINIF FONKSİYONLAR KONU ANLATIMI


FONKSİYON

A. TANIM
¹Æ ve B ¹Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
"ΠA ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A 
® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
***Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
***Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
*** s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
  i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
 ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2× n – nm dir.
*** Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
Ç B ¹Æ olmak üzere,
 fonksiyonları tanımlansın.
1.    (f + g) : A Ç B ®  , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2.    (f – g) : A Ç B ®  , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3.    (f × g) : A Ç B ®  , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
4.    "ΠA Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,



1.    Π  olmak üzere,
(c × f) : A ®  , (c × f)(x) = c × f(x) tir.

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
Buna göre, bire bir fonksiyonda,
"x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1¹ f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle,
"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f  fonksiyonu bire birdir.
*** s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,






2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

*** f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
*** İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
   
   


ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
*** "ΠA ve c Î B için,
      f : A ® B
      f(x) = c
ise, f sabit fonksiyondur.
*** s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon


f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
*** Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
*** Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON
       f : A ® B
     g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON
       f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
 
biçiminde gösterilir.

 F. TERS FONKSİYON
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f–1 : B ® A, f–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

(x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için,
y = f(x) ise, x = f–1(y) dir.
Ayrıca, (f–1)–1 = f dir.



*** (f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.
*** f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir.

 *** f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir.

*** f(a) = b ise, f–1(b) = a dır.
f–1(b) = a ise, f(a) = b dir.










*** y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.







***  
olmak üzere,









***  olmak üzere,








G. BİLEŞKE FONKSİYON
f : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.
      





Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
*** (gof)(x) = g[f(x)] tir.

*** Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda, fog ¹ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez. 
*** Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.


*** I birim fonksiyon olmak üzere,
foI = Iof = f ve
f–1of = fof–1 = I dır.
*** f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,
(fog)–1 = g–1of–1 ve
(fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.
*** (fog)(x) = h(x)
ise, f(x) = (hog–1)(x) dir.
ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir.

***



•  f–1 (x) = f(x) tir.
•  (fof) (x) = x
•  (fofof) (x) = f(x)
•  (fofofof) (x) = x
...
H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}
 (a, b) Î f
olduğundan
f(a) = b dir.
Ayrıca, f–1(b) = a dır.












Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,
f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.

Faydalı Semboller: 
÷ × ½ √ ∞ = ≠ ≤ ≥ ≅ ≈ ~ ⇒ ±  ∈  Δ θ ∴ ∑ ∫ • π -¹ ² ³ ° ( ) [ ] a b ∠   ∟ ´ ´´     || Δ |x-y{ } ∩ ∪ ⊆ ⊂ ⊄ ⊇ ⊃ ⊅ ⊖ |A| Ø  1    

Post Top Ad