Kaç Tane Asal Sayı Vardır?


Kendisinden ve birden başka hiçbir tam sayıya bölünemeyen sayılara asal sayı deriz. Örneğin 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 asal sayılardır. Öte yandan 1 sayısı matematikçilerden başka kimsenin anlamadığı nedenlerden dolayı asal kabul edilmez. Asal sayıların listesini çıkarmaya başladığınız zaman listedeki sayıların arasının genellikle açılmaya başladığını görürsünüz. Örneğin 1 ile 100 arasında yirmibeş asal sayı varken 100 ile 200 arasında yirmibir asal vardır. Daha büyük aralıklara bakarsak örneğ in 1 ile 1 milyon arasında 78498 asal sayı varken 10 milyon ile 11 milyon arasında 61938 asal vardır. Buna bakarak asallların azaldığını ve giderek yok olacağ ını düşünebilirsiniz. Bu durumda doğal olarak en büyük asal sayı hangisidir, diye bir soru sorabilirsiniz. İşte 2000 yıl önce Öklid bu soruya çok şık bir cevap vermiştir. Öklid en büyük asal diye bir sayının olmadığını, asal sayılar listesinin sonsuz oldu ğunu iddia etmiştir. Bir an için Öklid asal sayılar listesinin sonlu olduğunu kabul eder.

Buna göre p1 < p2 < ... < pn elimizdeki bütün asallar olsun. Ş imdi K=p1.p2 ... pn + 1 sayısını dü şünelim. Bu sayı elimizdeki asal sayılar listesindeki her asaldan farklıdır. Var olan tüm asallar bu listede olduğuna ve K sayısı bu listede olmadığına göre K sayısı asal değildir. Öyleyse elimizdeki listedeki asallardan en az biri tarafından bölünmeli. Oysa K sayısı bu asallardan hiç birine bölünmez. Örneğ in K= 1 + p1 . (p2 ... pn) eklinde yazıldığı için p1 asalına böldü ğümüz zaman 1 artar. Aynı nedenle diğer asallara da bölünmez. Bir çeliş kiye vardık. Asal sayıların sonlu sayıda bulunduğ unu varsayınca açık bir çelişki elde ediyoruz. Demek ki
asal sayılardan sonsuz tane var. Bu kadar basit. Ş imdi bu duruma itiraz edebilirsiniz. Bu elde ettiğimiz K sayısını da listeye ekleseydik çeliş kiden kurtulur muyduk? Dikkat ederseniz çelişkiyi elde etmemizin nedeni K sayısının listede olup olmamasından çok listede yalnızca sonlu sayıda asal olmasıydı. Eğer listede sonlu
sayıda asal olmasaydı onları birbiriyle çarpıp 1 ekleyerek bir K sayısı elde edemez ve çelişki bulamazdık. Çeli şki K sayısından değil, asalların listesinin sonlu varsayılmasından doğ du. Asal sayılarla oynamak büyük bir zevk kaynağ ıdır. Örneğin her n sayısıyla 2n sayısı arasında mutlaka bir asal oldu ğunu gösterebilir misiniz? Bu bilinen bir sonuçtur ama ispatı biraz çetrefillidir. Ya da üçten büyük her çift sayının iki asalın toplamı olarak yazılabileceğini gösterebilir misiniz? Bu Goldbach önermesi olarak tanınır ve hala doğru olup olmadığı bilinmemektedir. Ölümlü insanların bugüne kadar deneyebildikleri her çift sayı için önermenin doğru çıktığını söylemeye gerek yok... Ama ya henüz deneyemediğimiz büyüklükteki bir çift sayı için yanlışsa...

Asal Sayılarla ilgili bir tablo:


Örnek: 1 ile 100.000 arasında 9592 adet asal sayı vardır...
Asal Sayı Aralığı
Kaç Tane Var?
10
4
100
25
1,000
168
10,000
1,229
100,000
9,592
1,000,000
78,498
10,000,000
664,579
100,000,000
5,761,455
1,000,000,000
50,847,534
10,000,000,000
455,052,511
100,000,000,000
4,118,054,813
1,000,000,000,000
37,607,912,018
10,000,000,000,000
346,065,536,839
100,000,000,000,000
3,204,941,750,802
1,000,000,000,000,000
29,844,570,422,669
10,000,000,000,000,000
279,238,341,033,925
100,000,000,000,000,000
2,623,557,157,654,233
1,000,000,000,000,000,000
24,739,954,287,740,860
10,000,000,000,000,000,000
234,057,667,276,344,607
100,000,000,000,000,000,000
2,220,819,602,560,918,840
1,000,000,000,000,000,000,000
21,127,269,486,018,731,928
10,000,000,000,000,000,000,000
201,467,286,689,315,906,290



Kaynak: Matematiğin Aydınlık Dünyası

Google Plus İle Paylaş
    Blogger Comment
    Facebook Comment

0 yorum:

Yorum Gönder



Faydalı Semboller: 
÷ × ½ √ ∞ = ≠ ≤ ≥ ≅ ≈ ~ ⇒ ±  ∈  Δ θ ∴ ∑ ∫ • π -¹ ² ³ ° ( ) [ ] a b ∠   ∟ ´ ´´     || Δ |x-y{ } ∩ ∪ ⊆ ⊂ ⊄ ⊇ ⊃ ⊅ ⊖ |A| Ø  1